29 SCI nombre d’or approches 2009-09

1. Le nombre d’or = proportion parfaite. Christian m’a demandé cette fiche sur le nombre d’or. Le nombre d’or est une proportion. On l’appelle encore section dorée. Il s’agit d’une proportion aussi parfaite que l’or. Cet emploi métaphorique était très courant au moyen-âge. Ainsi le titre “La légende dorée” de Jacques de Voragine signifie “Des choses qui méritent d’être lues – legenda – parce qu’elles sont aussi précieuses que l’or.” 

Des approches du nombre d’or sont consultables sur le net comme

http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d’or

http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/rectangle_dor.htm

Elles sont toutes intéressantes mais rapidement trop techniques à la lecture. Pour faciliter le passage d’un traitement de texte à un autre j’ai renoncé aux lettres grecques et aux signes mathématiques. 

2. La connaissance du nombre d’or est très ancienne et remonte peut-être à 10.000 ans (temple d’Andros sous la mer des Bahamas). On le trouve dans la pyramide de Chéops (2.800 avant J.-C.) Mais, en tant que tel, il semble bien qu’il soit d’origine pythagoricienne ( VI° siècle avant J.-C.). Je l’ai classé en 29 SCI mais je pouvais aussi bien l’évoquer en 26 REL tant il est chargée de valeur mythique et religieuse. Enfin il faut le resituer dans son contexte pythagoricien et donc consulter 21 PHI Pythagore. On sait que le  sculpteur   grec Phidias (447 – 432 avant J.-C.) l’utilisa pour décorer le Parthénon d’Athènes. Sa représentation en la lettre grecque phi est un hommage à Phidias. Euclide (III° siècle avant J.-C.) l’évoqua dans le livre VI des “Eléments”. Fra Luca Pacioli, moine et professeur de mathématique en traita dans “La divine proportion” (1498). 

3. Le logos. Le nombre d’or est donc une proportion. On ne peut pas parler d’une longueur A en elle-même. Il faut la comparer à une autre longueur B pour savoir si elle est plus courte, plus longue ou égale à B, donc pour l’évaluer, en connaître la valeur, ici sa longueur. L’inverse est vrai : on ne peut parler de B que par rapport à la longueur A.  Le rapport fonctionne donc dans les deux sens. Les longueurs A et B forment à elles deux une totalité. Ce rapport A / B ou B / A est appelé en grec logos. Le mot logos a des  significations très larges :   “parole, raison, compte” ou encore  “ propos, récit,  explication, raisonnement, raison”. Ce logos relève d’une racine indo-européenne LEG- II “cueillir, choisir”. Il va donner en français horloge, logique  et tous les mots terminés par – logue ou -logie. Ce LEG-II ne doit  pas être confondu avec une autre racine LEG- III  “loi” qui donne lex en latin et loi en français. 

4. On ne peut donc pas parler d’une chose sans se référer mentalement à une autre à laquelle on la compare implicitement. A elles deux elles forment une totalité. Ainsi en philosophie, on évoque l’être par référence au non-être auquel il se mesure  dans tous les sens du terme. Savoir si le non-être est le néant reste en débat mais je pense que le néant n’est pas le non-être, ne serait-ce que parce que l’origine probable du mot néant, selon le linguiste Alain Rey, est “l’absence de tout être vivant”. Par contre le couple matière / antimatière semble bien correspondre au couple être / non être.  Sur cette question on peut consulter : 

 http://www.lalibre.be/debats/opinions/article/370151/etre-ou-non-etre.html 

http://www.universalis.fr/encyclopedie/T301480/NON_ETRE.htm

http://www.mail-archive.com/philosophie_france@yahoogroupes.fr/msg00296.html

5. A partir de ce logos (A + B) on va construire une analogie ou une proportion. Comme il est interdit d’ajouter un troisième terme, on la construit ainsi :

logos = A / B = A + B / A

C’est la base du nombre d’or. Celui-ci est connu en géométrie et en architecture  sous le nom de section dorée. Elle se construit ainsi : Trois points alignés A B C forment une section dorée si BC / AB = AC / BC ou encore “s’il y a de la petite partie à la grande le même rapport que de la grande au tout” (selon Vitruve, architecte romain du I° siècle). Exemple :

A_______B_____________C

        5                     8

8/ 5 = 1,6 =  (5 + 8) / 8 = 1,6

1,6 est une valeur approchée pour des raisons que nous verrons plus loin. Cette proportion est facile à construire avec simplement deux longueurs mais elle ne fonctionne pas avec n’importe quelles longueurs. Là est l’astuce.

6. L’équation. Au cours des XIX° et XX° siècles de nombreux travaux ont été consacrés au nombre d’or et à ses applications en esthétique et en architecture, notamment “Le Nombre d’or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisationoccidentale” (1931) de Matila Ghyka. A la fin XIX° siècle un mathématicien appela de la lettre grecque phi (hommage à Phidias) le rapport A/ B = A + B / A. On en déduit une équation du second degré  que l’on développe ainsi :

phi = A/B = A/A + B/A

phi = A/ B = 1 + B/A

phi = A/B = 1 + 1/phi

Par commodité on multiplie tout par phi. On obtient donc

phi au carré = phi + 1

ou 

phi au carré – phi – 1 = 0

Cette équation du second degré a deux racines :

phi 1 = (1 +  racine de 5) / 2 et

phi 2 = (1 –  racine de 5) / 2

dont les proportions respectives sont   1,618… / 1 et 1 / 1,618… et les valeurs numériques correspondantes 1,618… et 0,618…. 

Ce qui veut dire qu’un rectangle est jugé harmonieux si l’un de ses côtés a, par exemple, 1, 618… mètre et l’autre 1 mètre ou encore 0,618… mètre d’un côté et 1 mètre de l’autre. 

Les Grecs connaissaient les équations du second degré, lesquelles viennent en particulier des Hindous, savoir recueilli par les Arabes. Voir : 

http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/LMBcomplexes.pdf

http://www.math93.com/equation.htm

7. Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige (un étalon, une mesure)  constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure établie à partir du corps humain : la paume, la palme, l’empan, le pied et la coudée. Les longueurs étaient donnée en lignes, une ligne mesurant environ 2 mm (précisément 2,247 mm) :

paume = 34 lignes = 7,64 cm

palme = 55 lignes = 12,63 cm

empan = 89 lignes = 20 cm

pied = 144 lignes = 32,36 cm

coudée = 233 lignes =  52,36 cm

On passe d’une mesure à la suivante en la multipliant par le nombre d’or, soit 1,618… Sur la genèse et la symbolique de l’art roman on peut consulter :

http://symboliqueromane.canalblog.com/archives/11___pythagore/index.html

Actuellement, le format d’une feuille de papier normalisé (A3, A4, A5) est racine de 2. Il est assez proche du nombre d’or puisque 29,7 / 21 = 1,414… Cette proportion a été choisie afin qu’en coupant une feuille en deux, on obtienne toujours le même rapport. Même souci de normalisation qu’au moyen-âge…

8. La suite de Fibonacci. Le nombre d’or possède la propriété fondamentale de la suite de Fibonacci : chacun des nombres de cette progression géométrique est la somme des deux précédents. On a donc la série 1, 1, 2, 3, 5, 8 13, 21, 34, 55, 89… Or dès la 4° génération on retrouve une valeur proche du nombre d’or. Exemple : 89 / 55 = 1,618… Les Grecs connaissaient cette série très simple à construire. Mais elle porte le nom de Fibonacci, dit encore Léonard de Pise, mathématicien fameux du XIII° siècle qui amena en Occident les chiffres hindous au retour d’un long séjour en Alger. Dans une récréation mathématique, Fibonacci inventa sa suite pour résoudre le problème de la prolifération des lapins : elle est assez rapide pour que des oncles et des neveux aient quasiment le même âge. A la 10° génération ils sont 55, à la 11° 89… et à la 25° 75.025 !

9. Dans la nature. La suite de Fibonacci se retrouve dans la disposition des feuilles sur une tige : elle permet l’ensoleillement maximum. Les Grecs identifiaient le nombre d’or entre la 1° et la 2° puis la 2° et la 3° phalange d’un doigt. Ils l’étendaient aux proportions du reste du corps. Nous avons vu que les bâtisseurs de cathédrales, les maçons libres, les francs maçons, avaient repris ces mesures. L’Adam Kadmon (Kadmon en hébreu signifie “premier”, “primordial”)  est l’homme parfait dont toutes les proportions répondent au nombre d’or comme l’a voulu le Créateur pour toutes ses créatures. Par conséquent identifier le nombre d’or ou le respecter dans toutes les œuvres d’art  c’est poursuivre l’œuvre du Créateur. On va  le retrouver dans les temples grecs, les cathédrales, la peinture classique (Nicolas Poussin “Les Bergers d’Arcadie”), la peinture cubiste et abstraite (Mondriaan etc.), l’ameublement, la musique, le design. Des peintres comme Dali et Picasso , un architecte comme Le Corbusier (le Modulor) ont utilisé consciemment la divine proportion. Quand un artisan ou un artiste cherche à traduire une harmonie fondamentale il utilise intuitivement ou délibérément le nombre d’or, la section dorée.

10. Revenons aux pythagoriciens. Ils avaient établi des liens très étroits entre l’arithmétique, la géométrie, la musique, l’architecture, la poésie, la danse, la logique, etc. “Le pythagoricien contemplant la façade d’un temple pouvait y retrouver les proportions d’une jeune fille aimée ou de son athlète préféré ou le leit-motiv de tel hymne orphique.” (Matila C. Ghyka “Le nombre d’or”, Paris 1931). 

11. Nombre d’or et islam. Sylvie (2009_10_10): Juste un mot pour dire que je suis très inquiète car si vous allez chercher des infos sur le nombre d’or dans un moteur de recherche, vous trouverez des vidéos très orientées, vidéos qui sont déjà reprises dans des travaux personnels encadrés présentées par des lycéens. Je vous laisse naviguer et nous aurons peut-être l’occasion d’en reparler. Roger : J’ai bien fait d’envoyer ce fichier 29 SCI nombre d’or à la fois sur la liste Freinet second degré et Retorica car je reçois des échos très intéressants des deux listes. Je n’avais pas pensé aux dangers. Sylvie, peux-tu nous dire pourquoi tu es très inquiète et en quoi les vidéos que tu as pu voir étaient « très orientées ». Je devine un peu bien sûr… En vrac :

1. risques de dérives ésotériques

2. mais le net est ouvert à tout le monde

3. l’essentiel est d’en parler en classe pour rectifier le tir mais sans trop insister

4. et faire surtout confiance aux élèves qui plus tard reviendront d’eux-mêmes sur ces questions et relativiseront ce qu’ils avaient trouvé plus jeunes. Nous ne sommes qu’un moment, qu’un maillon de leur apprentissage, de leur tâtonnement. 

Mais il est probable que tu penses aussi à autre chose. Sylvie : Je suis inquiète parce que depuis que je travaille autour de ce thème avec les élèves, la recherche sur Internet nous oriente depuis peu et ce dès les premiers sites, non pas sur des sites mathématiques ou créatifs mais vers des sites qui visent à démontrer que le nombre d’or est « un miracle de l’Islam ». Les vidéos sont de très grande qualité. Il faudrait étudier plus à fond l’argumentation mais pour des élèves de seconde, il peut être rapide de prendre pour argent comptant ce qui est démontré ici. Je m’interroge donc sur les intentions des auteurs. Bien sûr il est de notre devoir d’en parler en classe, mais je ne sais pas si j’ai toutes les clés pour gérer un débat sur un sujet aussi délicat.

Par contre il semble plus facile d’argumenter sur d’autres vidéos à but commercial qui vantent les mérites d’un traitement pour avoir (enfin!) un visage harmonieux. Comme je laisse souvent les élèves préparer les cours, cette année j’ai évité le nombre d’or, le temps de mieux analyser ce qu’ils vont pouvoir trouver. Par contre j’ai utilisé le numéro du Kangourou des maths qui donne plein de pistes.

12. Roger : L’inquiétude de Sylvie rejoint les recherches de Pierre sur l’Atlas de la Création, ouvrage créationniste très bien présenté et dû à un professeur de philosophie de nationalité turque, de religion musulmane et profondément croyant. Nul doute que pour nos élèves musulmans la découverte du nombre d’or « miracle de l’islam » conduira à l’Atlas de la Création. Que dire ?

1. Il n’est pas faux d’affirmer que le nombre d’or est « un miracle de l’islam » car c’est par l’islam que le savoir grec nous est parvenu.

2. Mais l’islam professe volontiers qu’avant lui il n’y avait rien. Je me souviens de la stupéfaction d’un élève musulman quand il avait découvert que le Coran était nourri de Bible juive et chrétienne (les Evangiles).

3. D’où deux thèmes de recherche rapide à proposer aux élèves, sans les contredire sur ce qu’ils pensent et croient :

– a) quand est né historiquement l’islam ? Le « historiquement » n’est pas de trop car islam signifiant « soumission à Dieu », l’islam est de toute éternité et le Coran est de toute éternité ! Il faut insister sur “historiquement”.

– b) qu’y avait-il avant l’islam ?  En Arabie il y a alors, outre les Arabes, beaucoup de juifs hellénisés et christianisés qui ont fui la ville de Jérusalem détruite depuis l’an 135 : il y sont donc installés depuis cinq siècles.

4. Pour tous les profs et les curieux un ouvrage à posséder absolument : la traduction du Coran par Denise Masson et spécialement le tome 2 et ses notes (Folio). C’est, à ma connaissance,  la seule traduction qui possède de telles informations sur les sources du Coran. 

5. Je viens d’envoyer à un spécialiste, Jean-Christophe Attias, le mail suivant :

« Je viens de rencontrer votre site en cherchant des informations sur « Les Grecs, les Arabes et nous ». 

http://www.jeanchristopheattias.net/en-librairie-les-grecs-les-arabes-et-nous.html

Les deux articles cités du Monde et de Libération n’évoquent pas les conditions pratiques de la traduction d’Aristote (et d’autres auteurs) du grec en arabe. D’après d’autres informations dont je cherche à vérifier la pertinence il y aurait dans cette affaire deux polarités :

1.La première polarité est celle de la destruction.  L’islam pose comme principe que le Coran se suffit à lui-même : « S’il est dans le Coran ce savoir est inutile ;  s’il n’est pas dans le Coran ce savoir est dangereux ; dans les deux cas, il peut disparaître. » Cette polarité conduisit à la destruction de nombreuses bibliothèques. Elle exclut que des musulmans aient fait l’effort d’apprendre le grec pour le traduire en arabe.

2. La seconde polarité est celle de la curiosité. L’Arabie est à l’époque de Mahomet et longtemps après un creuset où sont présents juifs hellénisés et christianisés qui ont fui un Israël détruit. D’où des influences multiples dont le Coran porte la trace et dont Denise Masson fait l’inventaire dans ses notes de la traduction du Coran (tome 2 de l’édition Folio). Cette fois les Arabes demandent aux juifs et aux chrétiens installés dans le pays et devenus bilingues de leur traduire des œuvres majeures de grec en arabe. 

Par chance, la polarité de la curiosité l’a emporte sur la polarité de la destruction. 

Je crois que cette vision est correcte mais je cherche à m’en assurer.« 

Je ne sais pas si ce spécialiste aura le temps de me répondre.  Voilà donc où j’en suis. Le débat reste ouvert.

13. Pistes de recherches. Maryvonne (2009_10_10) : entre autres un livre « la divine proportion » écrit par le mathématicien Luca Pacioli ami de Léonard de Vinci et de Piero della francesca : dans ce livre les mathématiques de Piero della Francesca écrits par Pacioli et dessins de Léonard , source de nombreux travaux d’élèves .

Une enquête sur les rectangles les plus agréables à l’oeil en liaison avec le rapport entre la longueur et la largeur au sein de la classe en enquête à l’extérieur ; au début la statistique donnait le(s) rectangle(s) pour lesquels ce rapport était proche du nombre d’or environ 8:5; au fur des années la réponse était moins évidente. Pour tout complément en liaison avec des recherches d’élèves actuelle je  suis prête à échanger;

  Le livre d’Alain Nadaud très romancé a passionné plusieurs élèves ; il y a aussi le livre de Denis Guedj  « Zéro ou les 5 vies d’Aemer » mais autant le livre de Nadaud annonce la couleur – c’est un récit imaginaire – autant Guedj semble dire la vérité et ces affirmations intéressantes certes sont souvent des hypothèses de l’auteur infirmés par d’autres sources

  Je n’avais pas fait le lien avec le Tao mais cela me passionne ainsi que la conclusion sur Léo. Merci Roger

Je fais un lien avec une interrogation sur les discours celui qui fait acte, qui a la vérité de l’acte et ne peut s’énoncer jusqu’au bout et le discours qui tend à la rigueur conceptuelle la plus grande mais a déjà perdu la vérité de son acte (je relis le de anima d’Aristote). Roger : Excellentes pistes. Je retiens. Noter que la notion de logos est formalisée par les stoïciens. Faire sur Google : “les stoïciens et le logos” : on tombera notamment sur le site

http://vitellus.ifrance.com/stoicism.htm

Maïthé (2009_09_30): Bravo super fichier ! Jacques ajoute que Léonard de Vinci a écrit sur le sujet. Il va rechercher où.

14. Etre et non-Etre Casimir (2009_10_07): La mystique me paraît tout à fait légitime parce qu’elle n’a pas de projet politique (notamment oppressif) mais hélas le déraillement est annoncé par la phrase clé : 

 « On va tenter de mesurer l’Etre, l’Inconnaissable (a+b)  par le connaissable (a) parce que c’est la seule manière d’y parvenir. » La dernière proposition a d’ailleurs quelque chose de comique, tu en conviendras peut-être. Là on se heurte à la problématique fondamentale : comment le relatif peut-il accéder au sens en soi . Et si l’on admet l’existence de celui-ci comment l’absolu pourrait-engendre le relatif ? Roger : Très juste. C’était évidemment une tentative un peu folle…

15. RésonnancesNicolas (2009_10_07) : Un des messages de Krishnamurti qui a pris à revers son entourage n’était-il pas aussi dans la temporalité de ses messages, qui en interdisait l’écriture ? Nous en sommes quasiment à « Ce message que vous pouvez écrire n’en est pas un » Pour en revenir au nombre d’or, était-il aussi question d’obtenir par des proportions « idéales » une résonnance optimale des pièces de vie ? Rappelons-nous déjà la situation et l’orientation des lits dans leur chambre, elles étaient guidées par ces notions de répartition des ondes. Roger : Très juste. Par associations d’idées je pense à ce texte de Gurdjieff :

« Mais l’art ancien n’avait pas pour objet de plaire. Tous ceux qui le lisaient comprenaient. Maintenant le but de l’art est entièrement oublié.

Prenez l’architecture : parmi les édifices que j’ai vu, en Perse et en Turquie; je me souviens d’un bâtiment de deux pièces. Tous ceux qui entraient dans ces pièces, qu’ils soient jeunes ou vieux, anglais ou persans, pleuraient. Quelle que soit leur formation ou leur culture. Nous avons poursuivi cette expérience pendant deux ou trois semaines et observé les réactions de chacun. Nous avons spécialement choisi des gens gais. Le résuldat etait toujours le même. 

En raison des combinaisons architecturales propres à ce bâtiment, les vibrations, mathématiquement calculées, ne pouvaient pas produire un autre effet. En nous opèrent certaines lois et nous ne pouvons résister aux influences extérieures. Parce que l’architecte  possédait une réelle connaissance suivant laquelle il construisait mathématiquement, le résultat était toujours le même.” (Gurdjieff (1877 – 1949) in Gurdjieff parle à ses élèves (1924) p. 238 sqq Ed du Rocher (2003)

16. Calcul mental et boulier chinois. Serge (2009_10_10): Ma dernière fille actuellement en 1ere, a toujours eu du mal avec le calcul mental. J’essaie depuis quelques années du trouver une méthode assez ludique pour qu’elle reprenne confiance en elle et entame une relecture des chiffres et du calcul qui lui soit plus profitable.. Si avez quelques pistes dans ce domaine n’hésitez pas à me donner des conseils…

Roger : 1. J’ai cherché sur Google en tapant simplement « calcul mental« .

J’ai trouvé ce site

http://www.automaths.com/?rub=1921

Il m’a semblé assez ludique avec ses exercices autocorrectifs.

2. Quelques remarques :

– Votre fille doit chercher par elle-même sur Google et trouver le site qui lui convient vraiment.

– Je crois qu’il faut, pendant un certain temps, en faire, disons, un quart d’heure tous les jours.

– Il faut savoir aussi pour quels usages elle juge avoir besoin de calcul mental.

– J’ai connu l’époque où les calculettes n’existaient pas et où j’apprenais les bases de la comptabilité avec des additions effrayantes à faire verticalement et horizontalement… On n’en est plus là. Mais il y a des mécanismes de base à connaître, en principe…

– Donc votre fille a besoin, je crois, d’une douzaine de trucs qui touchent notamment au problème des proportions et de la règle de trois.

3. – Ah ! une piste qui peut être très intéressante : le boulier chinois qui aide à décomposer les éléments des quatre opérations. Voici une référence :

http://trucspourapprendre.free.fr/boulier/bou0.htm

Là aussi explorer en faisant sur Google « boulier chinois ». Et pour en savoir plus :

http://newton.mat.ulaval.ca/amq/bulletins/dec06/boulier.pdf

1. Ainsi le nombre d’or mène à tout à condition d’en sortir !

Roger et Alii

Retorica

(21.000 caractères)

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